Verdubbelen en halveren


"De luchtvaart groeit met 5% per jaar", lees ik op Twitter in een recente bijdrage van de NRC.
Ik vertelde dat tegen een vriend en vertelde erbij dat als zich dat zo doorzet de luchtvaart na 14 jaar verdubbeld zal zijn. Een prettig vooruitzicht voor de luchtvaart, maar minder prettig voor het milieu.

De rekensom is eenvoudig uit het hoofd op te lossen: de "72 : n regel" zegt dat bij een trendmatige verandering van p% per termijn de aanvankelijke hoeveelheid na 72 : p termijnen gehalveerd of verdubbeld is, afhankelijk van het gegeven of er van een daling resp. van een stijging sprake is.

Een kapitaal dat tegen 4% rente 's jaars is uitgezet is na 72 : 4 = 18 jaar verdubbeld. Beurskoersen die een continue stijging te zien geven van bijvoorbeeld dagelijks 1,2% zijn na 72 : 1,2 = 60 dagen verdubbeld. Een bevolking die gestaag met 1,5% per jaar toeneemt is na 72 : 1,5 = 48 jaar verdubbeld.
Omgekeerd, als je over 12 jaar bij 6% 's jaars een kapitaal van 100.000 wil kunnen toucheren moet je nu 50.000 inleggen.
Het is een betrouwbare methode die oneindig veel toepassingen kent, ook al omdat er, verbazend genoeg, veel rek in dat "index"-cijfer zit.

Mijn vriend zegt: "Dat is een leuk sommetje. Waarom wordt dat niet in het basisrekenpakket van de scholen opgenomen?" Ik zeg: "Dat komt waarschijnlijk omdat de herleiding te ingewikkeld is. De kinderen mogen niet iets weten wat zij niet begrijpen, of mogelijk nooit zullen begrijpen, laat staan wat meester niet begrijpt."
Een belangrijke toepassing komt uit de mathematische demografie, omdat er in dat vakgebied altijd de prangende vraag ligt: bij welk groeipercentage vindt er bij welke duur een verdubbeling plaats.
Hier is de herleiding1.
De formule voor meetkundige groei, zoals wiskundigen dat noemen luidt:



waarin p is het groeiperunage per eenheid van tijd. De eenheid van tijd kan zijn een maand, een jaar of langer of korter, zolang p en t worden uitgedrukt in dezelfde eenheid.
Een verdubbeling vindt plaats als



Om n op te lossen moeten we gebruik maken van logarithmen wat leidt tot een wat ingewikkelder ogende voorstelling:



Via de Taylor Series ontwikkeling (hier beter achterwege te laten) kan worden aangetoond dat de uitdrukking in de noemer voor de voor ons onderwerp van toepassing zijnde waarden van x gelijk mag worden gesteld aan x. We kunnen dus schrijven:



en helemaal eenvoudig:



Omdat het getal 72 wat "lekkerder" rekent (het is door veel meer andere getallen deelbaar dan het getal 70) vervangen we de waarde in de teller door 72 - daar is niet het minste bezwaar tegen - die 2 extra wordt ook weer door zo- en zoveel gedeeld, en het gaat tenslotte om benaderingen.

Wat is nu de praktische betekenis van deze wetenschap?
Voorbeeld 1. Als een bevolking (of bevolkingsdeel) met 2% per jaar groeit, is die bevolking na 36 jaar in aantal verdubbeld.
Voorbeeld 2. Als we een periode hebben met een inflatie van 3% is na 24 jaar de koopkracht gehalveerd.
Voorbeeld 3. Een beurskoers die met 2% per week stijgt is na 36 weken verdubbeld.
Voorbeeld 4. Halveringstijd radioactiviteit: bv. de halveringstijd van de straling van plutonium-239 is 24.400 jaar. Dat betekent dat per jaar 72/24.400 = 0,003% wordt afgebroken.
Voorbeeld 5. Als je wilt dat de economie gestaag met 2 of 3% groeit houdt dat in dat die economie in 36 resp. 24 jaar verdubbelt.
En zo zijn er talloze voorbeelden uit het dagelijks leven waarbij de 72/n-regel een handig hulpmiddel is om de gedachten te bepalen.

Het meest schrijnende voorbeeld deed zich voor tijdens een van de eerste speeches van Geert Wilders in de Tweede Kamer. Hij probeerde zijn gehoor wijs te maken dat, als het zo door gaat, de moslims hier over 20 jaar de zaak over zullen nemen.
In ons land waren er, toen Wilders dat zei, 1.6 miljoen moslims en die bevolkingsgroep groeide toen met ongeveer 3% per jaar. Om de "zaak" te kunnen overnemen moet die groep dan groeien tot meer dan 8 miljoen. Dat zijn ruim meer dan twee verdubbelingen.
Bij een gestage groei van 3% vindt de eerste verdubbeling plaats na 24 jaar, en bij diezelfde groei, de tweede na nog eens 24 jaar. In de zaak Wilders zouden er dus in 2052 6.4 miljoen moslims kunnen worden geprojecteerd.

Maar er is nog iets anders aan de hand: het procreatieve gedrag van de moslims blijkt zich zeer snel aan te passen aan de normen en waarden van die in Nederland. Het groeipercentage daalt dramatisch en beweegt zich nu al tussen twee en anderhalf procent.
We moeten dus de tweede verdubbeling corrigeren tot een groeipercentage van zeg 1.8, hetgeen betekent dat de tweede verdubbeling pas plaatsvindt na 40 jaar, dus in totaal 64 jaar na de peildatum september 2004. Dat is 2068. Tegen die tijd zullen naar alle waarschijnlijkheid de groeipercentages genivelleerd zijn en mogen we "blij" zijn als de gehele bevolking nog met 1% per jaar zal groeien. Een derde verdubbeling vindt dan plaats na nog eens 72 jaar. Behalve dat ze allemaal moeten wachten tot ze de kiesgerechtigde leeftijd hebben bereikt, zien wij intussen ook maar af van het gegeven dat ook de autochtone bevolkingsgroep niet stilzit. Wanneer dus? Nooit!

Johan de Witt, in feite de eerste actuaris uit de geschiedenis, las in de Staten Generaal een ingewikkelde en voor ons onleesbare wiskundige verhandeling voor om de financiering van de oorlog tegen Engeland rond te krijgen, zijn De Waerdije van Lyfrenten, maar het is inmiddels wel duidelijk geworden dat geen van de geleerde heren in de regering of Tweede Kamer, Balkenende, noch Hirsch Ballin, noch Bos, noch Pechtold, noch Marijnissen, noch hunzelver adviseurs de 72/n-regel paraat hebben gehad. Hadden ze dat wel dan hadden wij niet naar de eindeloos onsmakelijke debatten van maverick Geert Wilders hoeven te luisteren en was met een kwartiertje uitleg de basis onder de PVV - de angst voor moslim-overheersing - geëlimineerd.

Jan Karman
jkarman@planet.nl
Middelburg, oktober 2015

1 Nathan Keyfitz - Applied Mathematical Demography - 1985 Springer Verlag